MathématiquesModule 3 — Configurations et constructions géométriques

Le théorème de Thalès et sa réciproque

25 min de lecture8 questions3e · Cameroun

Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès et démontrer que deux droites sont parallèles.

Avant de commencer4 objectifs · 3 prérequis

À la fin, tu sauras…

Savoir énoncer et appliquer le théorème de Thalès dans les configurations classique et papillon pour calculer une longueur.
Être capable d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès en respectant rigoureusement l'ordre des points pour démontrer le parallélisme de deux droites.
Savoir déterminer un coefficient d'agrandissement ou de réduction et calculer l'effet sur les longueurs et les aires.
Résoudre une situation-problème contextualisée (type Partie C du BEPC camerounais) mobilisant ces propriétés.

Ce que tu dois déjà savoir

Reconnaître des points alignés et des droites sécantes ou parallèles.
Manipuler les fractions et résoudre une équation du premier degré à l'aide de l'égalité des produits en croix.
Connaître les unités usuelles de longueur et d'aire (mètre, mètre carré).

Le théorème de Thalès est un outil géométrique incontournable du programme de 3e au Cameroun. Présent chaque année au BEPC dans la Partie B (Activités géométriques) ou la Partie C (Situation-problème), il permet de mesurer des distances inaccessibles, comme la largeur du fleuve Sanaga ou la hauteur d'un grand édifice.

1. Le théorème de Thalès (sens direct)

Soient deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes en un point $A$ . Soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$ , distincts de $A$ . Soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$ , distincts de $A$ . Si les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ sont proportionnelles :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

Le théorème s'applique dans deux configurations géométriques distinctes :

Configuration classique (triangles emboîtés) : $M$ appartient au segment $[AB]$ et $N$ au segment $[AC]$ .
Configuration « papillon » (triangles opposés par le sommet) : $A$ est situé entre $M$ et $B$ , ainsi qu'entre $N$ et $C$ .

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