Les nombres réels, racines carrées et intervalles

25 min de lecture8 questions3e · Cameroun

Calculer avec des racines carrées, simplifier des radicaux et utiliser les intervalles de ℝ.

Avant de commencer4 objectifs · 3 prérequis

À la fin, tu sauras…

Identifier les nombres irrationnels et l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ .
Appliquer les propriétés des racines carrées pour simplifier une écriture sous la forme $a\sqrt{b}$ .
Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction.
Représenter et manipuler les intervalles de $\mathbb{R}$ , déterminer un encadrement et une valeur approchée.

Ce que tu dois déjà savoir

Carrés parfaits usuels ( $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ ).
Ensembles de nombres $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$ .
Règles élémentaires de calcul sur les fractions et factorisation.

Dans la vie courante au Cameroun, un maçon ou un géomètre mesure souvent des longueurs qui ne s'écrivent pas sous forme d'entiers ou de fractions simples. Par exemple, pour délimiter un terrain carré de superficie $400\text{ m}^2$ , la mesure exacte du côté fait appel à la racine carrée. Cette leçon vous donne toutes les clés pour maîtriser ces nombres et réussir votre épreuve de mathématiques au BEPC.

1. Nombres irrationnels et ensemble $\mathbb{R}$

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$ où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{Z}^*$ . Son écriture décimale est infinie et non périodique (exemples : $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ ).
L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$ , est constitué de la réunion de l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ et de l'ensemble des nombres irrationnels.

On a les inclusions successives : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

2. Racines carrées : définitions et propriétés

Pour tout nombre réel positif $a$ , la racine carrée de $a$ , notée $\sqrt{a}$ , est le nombre réel positif dont le carré est égal à $a$ .

\sqrt{a} \ge 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{a})^2 = a

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ ( $b > 0$ pour le quotient) :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
Si $a \ge 0$ , $\sqrt{a^2} = a$ .

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Les nombres réels, racines carrées et intervalles

À la fin, tu sauras…

Ce que tu dois déjà savoir

1. Nombres irrationnels et ensemble R\mathbb{R}R

2. Racines carrées : définitions et propriétés

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1. Nombres irrationnels et ensemble $\mathbb{R}$